¿Estás desde el celu? Te conviene girar la pantalla en horizontal — las ecuaciones se ven mucho mejor en modo paisaje y vas a poder seguir los pasos sin hacer zoom.
A continuación, se muestra la resolución paso a paso de la ecuación $\dfrac{2x+1}{3} = x + 2$.
$$\frac{2x+1}{3} = x + 2$$
En el ejemplo anterior, $\dfrac{5}{x+3} = -1$, tuvimos que detenernos acá y analizar con cuidado: el denominador era una expresión con la incógnita, y eso nos obligaba a preguntarnos si podía valer cero.
En esta ecuación, el denominador es simplemente 3: un número, una constante. ¿Puede valer cero el número 3? Obviamente no. El 3 siempre es 3, independientemente de lo que valga $x$.
| Ecuación | Denominador | ¿Puede ser 0? | ¿Hay condición de existencia? |
|---|---|---|---|
| $\dfrac{5}{x+3} = -1$ | $x + 3$ | Sí (si $x = -3$) | Sí → $x \neq -3$ |
| $\dfrac{2x+1}{3} = x + 2$ | $3$ | No, nunca | No hace falta |
La diferencia es conceptualmente importante: la condición de existencia no es un ritual que hay que cumplir antes de toda ecuación con fracciones. Es una pregunta que hay que hacerse: ¿existe algún valor de $x$ que haría que el denominador se anule? Si la respuesta es no, seguimos sin restricciones. Si la respuesta es sí, hay que anotarlo antes de continuar.
Queremos trabajar sin la fracción. En el miembro izquierdo tenemos $\dfrac{2x+1}{3}$: el $3$ está dividiendo a toda la expresión $2x+1$.
🤔 ¿Qué hace el $3$?: divide.
Recurrimos a la operación inversa: multiplicamos ambos miembros por $3$. Y como el denominador es una constante —y ya vimos que nunca es cero—, podemos hacer esto con total tranquilidad:
Teníamos:
$$\frac{2x+1}{3} = x + 2$$Multiplicamos ambos miembros por $3$:
$$\frac{2x+1}{3} \cdot 3 = (x + 2) \cdot 3$$En el miembro izquierdo, el $3$ del denominador y el $3$ que multiplicamos se cancelan (ya que $\frac{3}{3} = 1$). Obtenemos:
$$\implies 2x + 1 = 3 \cdot (x + 2)$$En el miembro derecho tenemos $3 \cdot (x + 2)$: el $3$ está multiplicando a cada término dentro del paréntesis. Aplicamos la propiedad distributiva:
Teníamos:
$$2x + 1 = 3 \cdot (x + 2)$$Distribuimos el $3$:
$$2x + 1 = 3 \cdot x + 3 \cdot 2$$Calculamos $3 \cdot 2 = 6$:
$$\implies 2x + 1 = 3x + 6$$Tenemos $x$ en ambos lados: $2x$ a la izquierda y $3x$ a la derecha. Necesitamos que queden todas del mismo lado.
🤔 ¿Qué nos molesta?: el $3x$ del miembro derecho.
🤔 ¿Qué hace ese $3x$?: suma.
Recurrimos a la operación inversa: restamos $3x$ en ambos miembros:
Teníamos:
$$2x + 1 = 3x + 6$$Restamos $3x$ en ambos miembros:
$$2x + 1 - 3x = 3x + 6 - 3x$$En el miembro derecho, $3x - 3x = 0$ (se cancelan). En el izquierdo, $2x - 3x = -x$:
$$\implies -x + 1 = 6$$Tenemos $-x + 1 = 6$. Nos molesta el $+1$ que acompaña a $-x$ en el miembro izquierdo: queremos que ese lado tenga solo la incógnita.
🤔 ¿Qué hace el $+1$?: suma.
Recurrimos a la operación inversa: restamos $1$ en ambos miembros:
Teníamos:
$$-x + 1 = 6$$Restamos $1$ en ambos miembros:
$$-x + 1 - 1 = 6 - 1$$En el miembro izquierdo, $+1 - 1 = 0$ (se cancelan). En el derecho, $6 - 1 = 5$:
$$\implies -x = 5$$Tenemos $-x = 5$, que es lo mismo que $(-1) \cdot x = 5$. El $-1$ está multiplicando a la $x$, y eso es lo que nos molesta.
Recurrimos a la operación inversa: dividimos ambos miembros por $-1$:
Teníamos:
$$-x = 5$$Reescribimos $-x$ como $(-1) \cdot x$:
$$(-1) \cdot x = 5$$Dividimos ambos miembros por $-1$:
$$\frac{(-1) \cdot x}{-1} = \frac{5}{-1}$$$\frac{-1}{-1} = 1$, entonces el lado izquierdo queda simplemente $x$. $\frac{5}{-1} = -5$ ❓. Entonces:
$$\implies x = -5$$Reemplazamos $x = -5$ en la ecuación original. Como no había condición de existencia, no necesitamos chequear ninguna restricción previa: simplemente verificamos.
Nuestra ecuación original era:
$$\frac{2x+1}{3} = x + 2$$Reemplazamos $x$ por $-5$:
$$\frac{2 \cdot (-5) + 1}{3} = (-5) + 2$$Calculamos el numerador: $2 \cdot (-5) = -10$, luego $-10 + 1 = -9$:
$$\frac{-9}{3} = -3$$Y el miembro derecho: $(-5) + 2 = -3$. Entonces:
$$-3 = -3 \quad \checkmark$$Obtenemos una identidad verdadera: la resolución es correcta.
La solución de la ecuación es:
$$x = -5$$
Este material persigue un doble objetivo: por un lado, ayudarte a resolver correctamente ecuaciones; pero por el otro, romper esa inercia instalada en muchas escuelas en la que se propone que "las cosas pasan de un lado para el otro" en una ecuación.
Acá cada paso tiene una razón: siempre recurrimos a la operación inversa, siempre actuamos en ambos miembros al mismo tiempo. No hay magia, no hay "pases". Hay lógica.
Más adelante, cuando sigas estudiando matemática, vas a aprender que detrás de estas estrategias hay algo mucho más profundo: una serie de propiedades de los conjuntos numéricos —como la existencia de neutros, inversos y la propiedad uniforme de la igualdad— que son las que realmente sostienen y justifican todo lo que acá hacemos.