¿Estás desde el celu? Te conviene girar la pantalla en horizontal — las ecuaciones se ven mucho mejor en modo paisaje y vas a poder seguir los pasos sin hacer zoom.
A continuación, se muestra la resolución paso a paso de la ecuación $\dfrac{5}{x+3} = -1$.
$$\frac{5}{x+3} = -1$$
Antes de ponernos a resolver, hay algo muy importante que no podemos ignorar. Esta ecuación tiene una fracción: $\dfrac{5}{x+3}$. Y con las fracciones hay una regla que no tiene excepciones:
En nuestra ecuación, el denominador es $x + 3$. Entonces necesitamos asegurarnos de que $x + 3 \neq 0$, lo que equivale a decir que:
Esto se llama la condición de existencia (o dominio) de la ecuación. Significa que $x = -3$ no puede ser solución bajo ninguna circunstancia, y que al final del proceso vamos a verificar que la solución que encontremos no sea ese valor.
¿Por qué lo mencionamos ahora y no al final? Porque si trabajamos toda la resolución y al final obtenemos $x = -3$, eso no sería una solución válida: la ecuación directamente no estaría definida para ese valor. Es mucho mejor saberlo de entrada.
Para poder trabajar con la ecuación de forma más cómoda, necesitamos quitar el denominador $x+3$ que aparece en el miembro izquierdo.
🤔 ¿Qué hace $(x+3)$ en la fracción $\dfrac{5}{x+3}$?: divide al 5.
Recurrimos a la operación inversa de la división, que es la multiplicación. Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por $(x+3)$:
Teníamos:
$$\frac{5}{x+3} = -1$$Multiplicamos ambos miembros por $(x+3)$:
$$\frac{5}{x+3} \cdot (x+3) = -1 \cdot (x+3)$$En el miembro izquierdo, $(x+3)$ se cancela con el denominador (ya que $\frac{x+3}{x+3} = 1$, y esto es válido precisamente porque establecimos que $x+3 \neq 0$). Obtenemos:
$$\implies 5 = -1 \cdot (x+3)$$Notá algo fundamental: la simplificación $\dfrac{x+3}{x+3} = 1$ solo es válida porque garantizamos antes que $x \neq -3$. Si $(x+3)$ fuera cero, estaríamos haciendo $\dfrac{0}{0}$, que no tiene ningún valor definido. Por eso la condición de existencia no es un detalle menor: es lo que habilita este paso.
En el miembro derecho tenemos $-1 \cdot (x+3)$. Al igual que en otros ejemplos, esto es una multiplicación de $-1$ por cada término dentro del paréntesis. Aplicamos la propiedad distributiva:
Teníamos:
$$5 = -1 \cdot (x+3)$$Distribuimos el $-1$:
$$5 = (-1) \cdot x + (-1) \cdot 3$$Calculamos cada producto: $(-1) \cdot x = -x$ y $(-1) \cdot 3 = -3$:
$$\implies 5 = -x - 3$$Ahora queremos que todos los términos numéricos queden de un lado, y la incógnita del otro. En el miembro derecho tenemos $-x - 3$: nos molesta el $-3$ porque acompaña a la $x$ y queremos dejarla sola.
🤔 ¿Qué hace el $-3$?: resta.
Recurrimos a la operación inversa: sumamos 3 en ambos miembros:
Teníamos:
$$5 = -x - 3$$Sumamos $3$ en ambos miembros:
$$5 + 3 = -x - 3 + 3$$En el miembro derecho, $-3 + 3 = 0$ (se cancelan). En el izquierdo, $5 + 3 = 8$:
$$\implies 8 = -x$$Tenemos $8 = -x$. Casi llegamos, pero todavía no tenemos $x$ sola: tenemos $-x$, que es lo mismo que $(-1) \cdot x$. Ese $-1$ que multiplica a la $x$ es lo que nos molesta.
🤔 ¿Qué hace el $-1$?: multiplica a la $x$.
Recurrimos a la operación inversa: dividimos ambos miembros por $-1$:
Teníamos:
$$8 = -x$$Reescribimos $-x$ como $(-1) \cdot x$ para ver con claridad lo que hay que hacer:
$$8 = (-1) \cdot x$$Dividimos ambos miembros por $-1$:
$$\frac{8}{-1} = \frac{(-1) \cdot x}{-1}$$Sabemos que $\frac{8}{-1} = -8$ ❓, y que $\frac{(-1) \cdot x}{-1} = x$ (el $-1$ se cancela, ya que $\frac{-1}{-1} = 1$). Entonces:
$$\implies -8 = x$$O lo que es equivalente: $x = -8$.
Reemplazamos $x = -8$ en la ecuación original para comprobar que la solución es correcta. Pero primero, chequeamos la condición de existencia que establecimos al principio:
Ahora sí, reemplazamos en la ecuación original y verificamos:
Nuestra ecuación original era:
$$\frac{5}{x+3} = -1$$Reemplazamos $x$ por $-8$:
$$\frac{5}{-8+3} = -1$$Calculamos el denominador: $-8 + 3 = -5$:
$$\frac{5}{-5} = -1$$ $$-1 = -1 \quad \checkmark$$Obtenemos una identidad verdadera: la resolución es correcta.
La solución de la ecuación es:
$$x = -8$$
Este material persigue un doble objetivo: por un lado, ayudarte a resolver correctamente ecuaciones; pero por el otro, romper esa inercia instalada en muchas escuelas en la que se propone que "las cosas pasan de un lado para el otro" en una ecuación.
Acá vas a ver que cada paso tiene una razón: siempre recurrimos a la operación inversa, siempre actuamos en ambos miembros al mismo tiempo. No hay magia, no hay "pases". Hay lógica.
Más adelante, cuando sigas estudiando matemática, vas a aprender que detrás de estas estrategias hay algo mucho más profundo: una serie de propiedades de los conjuntos numéricos —como la existencia de neutros, inversos y la propiedad uniforme de la igualdad— que son las que realmente sostienen y justifican todo lo que acá hacemos.