Matemática 1 · Matemática y Estadística

Ecuaciones:
Definición, Propiedades
y Casos de Resolución

Lic. Nicolás Rosbaco — Universidad Nacional del Comahue

2026
Presentación 1 de Ecuaciones
Matemática I | Matemática y Estadística | CURZAS

DefiniciónEcuaciones e Incógnitas

Ecuación

Una ecuación es una expresión de igualdad $ (=)$ que contiene, al menos, una variable o incógnita. Cada lado de la igualdad recibe el nombre de miembro de la ecuación. Por convención el miembro izquierdo se llamará primer miembro y el derecho segundo miembro.

¿Qué no es una ecuación?

Por ejemplo:

  • $ 3x + 6$ No es una ecuación... si bien es una expresión algebraica, no observamos ninguna identidad o igualdad.
  • $3+2=5$ Si bien es una identidad (verdadera) no contiene ninguna variable o incógnita.
  • $4=4+5$ Este es otro ejemplo de identidad numérica (falsa en este caso) que, al no contener ninguna incógnita, no es una ecuación.

Ejemplos de ecuaciones

  • $m+3=8$ es una ecuación, cuya incógnita o variable es $m$
  • $x+y=-3$ es una ecuación, con dos incógnitas o variables $x$ e $y$

RetomemosLa ecuación

Recordemos la definición de ecuación:

$$ \underbrace{5-m}_{\text{Primer miembro}} \;=\; \underbrace{4 \cdot m + 10}_{\text{Segundo miembro}} $$
Primer miembro
$ 5 - m$
=
Segundo miembro
$ 4 \cdot m + 10$

Incógnita

La variable de la ecuación es $ m $ . La elección del símbolo que representa la incógnita de la ecuación es completamente caprichosa.

DefiniciónSOLUCIONES de la ECUACIÓN

Ecuación

La o las soluciones de una ecuación son los valores que, al sustituirse en la variable o incógnita, hacen que la identidad sea verdadera.

Ejemplos

Consideremos la ecuación: $3 \cdot x+1=7$.

Una solución de esta ecuación (la única, esto lo veremos más adelante) es $x=2$.

El conjunto solución de la ecuación se denota como $S = \{2\}$.

Si deseamos verificar esto es muy simple:

sostituímos la incógnita que es: $x$ por $2$ en la ecuación original.

$$ 3 \cdot x + 1 = 7$$

como $x=2$, tenemos:

$$ 3 \cdot 2 + 1 = 7$$ $$ 6 + 1 = 7$$ $$ 7 = 7 \checkmark$$

DefiniciónConjunto Solución de la Ecuación

Conjunto Solución

Es el conjunto que contiene a todas las soluciones de la ecuación. Se suele expresar del siguiente modo: Sea la ecuación cuyas soluciónes (únicas son) $x_0,x_1,...,x_n$ el conjunto solución será.

$$S = \{x_0, x_1, ..., x_n\}$$
Ejemplo

Una ecuación muy conocida para nosotros: $(x-1)^2 \cdot (x+3)=0$. Su conjunto solución es:

$$ S=\{1, -3\} $$

tarea✍🏼 es tu turno

Responder

¿Cuál de las siguientes expresiones son ecuaciones? JUSTIFICÁ las afirmaciones.

  • $4+5=9$
  • $3 \cdot x+2=7$
  • $m^2+1=0$
  • $2y-3=y$
  • $7=7$

tarea✍🏼 es tu turno

Verificar

A continuación se presentan ecuaciones y posibles soluciones, indicar en cada caso si las soluciones propuestas para las ecuaciones son correctas, JUSTIFICÁ tu respuesta

  • $4+m=9$; y el conjunto solución es: $S=\{ 1 \}$
  • $3 \cdot x+2=7$; y el conjunto solución es: $S=\{ 2 \}$
  • $m^2+1=0$; y el conjunto solución es: $S=\{ 0 \}$
  • $2y-3=y$; y el conjunto solución es: $S=\{ 3 \}$
  • $a^2-1=0$; y el conjunto solución es: $S=\{ 1\}$
  • $a^2-1=0$; y el conjunto solución es: $S=\{ -1\}$
  • $a^2-1=0$; y el conjunto solución es: $S=\{ 1, -1\}$

PropiedadesElementos especiales

Vamos a destacar, en el conjunto de números reales, algunas propiedades fundamentales que nos permiten transformar ecuaciones manteniendo su conjunto solución.

Esto es muy importante: vamos a realizar operaciones en una ecuación, que si bien la van a modificar, la van a transformar, mantienen el mismo conjunto solución.

Neutro (adición)
En lo números Reales, para la operación adición, existe un elemento especial llamado neutro (aditivo): $a+0=0+a=a$

Sumar 0 no cambia el valor de un número.

Neutro (multiplicación)
En lo números Reales, para la operación multiplicación, existe un elemento especial llamado neutro (multiplicativo): $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$

Multiplicar por 1 no cambia el valor de un número.

Inverso (aditivo), u opuesto
En lo números Reales, para cualquier real que se considere existirá su opuesto, de modo que: $a + (-a) = (-a) + a = 0$

Sumar a un número su opuesto da por resultado el neutro de la operación adición (en este caso 0).

Inverso (multiplicativo), o simplemente: inverso
En lo números Reales, para cualquier real no nulo que se considere existirá su inverso, de modo que: $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$

Multiplicar a un número por su inverso da por resultado el neutro de la operación multiplicación (en este caso 1).

tarea✍🏼 es tu turno

✍🏼 Pensemos

  • El inverso de $2$ es $\frac{1}{2}$.
  • El inverso de $-5$ es ............
  • El inverso de $0$ es ............
  • El opuesto de $3$ es ............
  • El opuesto de $-7$ es ............
  • El opuesto de $0$ es ............

PropiedadesCancelativas, Uniformidad

Vamos a destacar, en el conjunto de números reales, algunas propiedades fundamentales que nos permiten transformar ecuaciones manteniendo su conjunto solución.

Esto es muy importante: vamos a realizar operaciones en una ecuación, que si bien la van a modificar, la van a transformar, mantienen el mismo conjunto solución.

Uniforme (adición)
$ a = b \;\Rightarrow\; a + c = b + c$

Se puede sumar el mismo número en ambos miembros.

Uniforme (multiplicación)
$ a = b \;\Rightarrow\; a \cdot c = b \cdot c$

Se puede multiplicar por el mismo número en ambos miembros.

Cancelativa (adición)
$ a + c = b + c \;\Rightarrow\; a = b$

Se puede cancelar el mismo sumando en ambos miembros.

Cancelativa (multiplicación)
$ c \neq 0,\; a \cdot c = b \cdot c \;\Rightarrow\; a = b$

Se puede cancelar el mismo factor (no nulo) en ambos miembros.

Nota importante

Estas propiedades permiten transformar una ecuación en otra equivalente (mismo conjunto solución $ S$ ). La resta y la división son casos particulares de suma y multiplicación.

DISCLAIMER Cómo resolver una ecuación

PREMISA FUNDAMENTAL

Antes que nada nos vamos a poner de acuerdo en que los números no caminan y no hay "nadie" que los mueva de un lado a otro de la ecuación (de un miembro hacia el otro).

Lo que sí podemos hacer es aplicar las propiedades que analizamos anteriormente, para transformar una ecuación compleja (¿?) en otra ecuación más simple, pero con el mismo conjunto solución.

Esto es fundamental: si modificamos el conjunto solución... de nada sirve lo que hacemos.

Ecuaciones Equivalentes Aplicamos operaciones elementales

DEFINICIÓN

Dos ecuaciones serán equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Ejemplo 1

Consideremos la ecuación: $x = 7$.

Ya les estamos leyendo la mente... ¿para que vamos a considerar esta ecuación si la solución es obvia?. Es verdad, pero la idea es ir aplicando operaciones elementales para encontrar otras, diferentes, ecuaciones pero equivalentes.

Partimos de:

$$ x = 7 \;\;\;\; \text{(Ecuación 1)}$$

Si sumamos $-3$ en ambos miembros (aplicamos la propiedad uniforme de la adición), obtenemos:

$$ x + (-3) = 7 + (-3)$$ $$ x-3= 4 \;\;\;\; \text{(Ecuación 2)}$$

Es decir... teníamos ecuación 1, le aplicamos propiedades elementales, convirtiéndola en otra ecuación (diferente: ecuación 2) pero equivalente; ya que lo hemos dicho: las propiedades estudiadas conservan invariante el conjunto solución de la ecuación.

Ecuaciones Equivalentes Aplicamos operaciones elementales

Ejemplo 1

Haber convertido a ecuación 1: $x = 7$.

En ecuación 2: $x - 3 = 4$ no parecería tener ningún valor práctico... es cierto. NO lo tiene

Pero podría ser diferente... necesitamos resolver esta ecuación:

$$ 5+m = 3 $$

Podemos, ahora si, usar operaciones elementales para suprimir el término $5$, que sumando a $m$ molesta, impide la comparación directa de la incógnita con su valor.

$5$ suma a la $m$, con lo cual podemos sumar el opuesto de $5$ en ambos miembros de la ecuación:

$$ 5 + m + (-5) = 3 + (-5)$$ $$ m = -2 \;\;\;\; \text{(Ecuación 2)}$$

Hemos obtenido la ecuación 2, que es equivalente a la ecuación 1, pero que nos permite leer directamente el valor de la incógnita $m$.

RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN Aplicando propiedades elementales

¿cómo?

El proceso de resolución de una ecuación se puede sintetizar en la siguiente secuencia de pasos:

  • Aplicar alguna de las operaciones elementales para transformar la ecuación dada en otra ecuación equivalente, pero más simple.
  • Repetir el paso 1 hasta obtener una ecuación que permita leer directamente el valor de la incógnita o las incógnitas.

Ejemplo 1 $$5+ 3 \cdot m=3 \;\;\;\; \text{(Ecuación 2)}$$

Aplicamos la propiedad uniforme de la adición, sumando el opuesto de $5$ en ambos miembros:

$$ 5 + 3 \cdot m -5 = 3 -5$$ $$ 3 \cdot m = -2 \;\;\;\; \text{(Ecuación 2)}$$

Ahora aplicamos la propiedad uniforme de la multiplicación, dividiendo ambos miembros por $3$ (esto es lo mismo que multiplicar por el inverso de $3$, que es $\frac{1}{3}$):

$$ \frac{3 \cdot m}{3} = \frac{-2}{3} $$

Sabemos que: $\frac{3 \cdot m}{3} = \frac{3}{3} \cdot m = m$

$$ m = -\frac{2}{3} \;\;\;\; \text{(Ecuación 3)}$$

Ecuación 3 emerge de aplicar operaciones elementales sobre Ecuación 2. Esta última la obtuvimos, también aplicando propiedades elementales, pero sobre Ecuación 1. Con lo cual las tres ecuaciones son equivalentes, es decir: tienen el mismo conjunto solución.. Así es que la solución de nuestra ecuación es: $m=-\frac{2}{3}$ o también el conjunto solución de nuestra ecuación es: $S=\{-\frac{2}{3}\}$.