Apuntes de Clase: Resolución de Límites Matemáticos

Registro paso a paso de la resolución de un ejercicio, abordando indeterminaciones y límites tendientes al infinito.

Consulta inicial ¿Cómo resolver este problema sin usar software?:

$$ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x^2 - 1} $$

Acciones

Siempre que nos enfrentamos a un límite, el primer paso debería ser intentar evaluar la función directamente en el valor a al que tiende la variable. En este caso, la $x$ tiende a $1$. Por lo tanto debería ser necesario calcular la expresión cuando x=1

¿Pensa.... qué pasa al reemplazar $x$ por $1$ en la expresión original?

Respuesta

Se indetermina la expresión cuando $x$ es $1$ (queda 0 dividido 0); una buena idea podría ser factorizarla... el queda así: $(x+1)(x-1)$ que sería lo mismo que escribir: $(x+1)(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)$ (acá uso diferencias de cuadrados).

Simplificando con el numerador quedaría:

$$ \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x}+1)} $$

Listo... salvamos la indeterminación podemos sustituír $x=1$ y nos aaría $1/4$ el límite buscado.

Más ideas...

Pasemos en limpio: no podíamos sustitír originalemente porque la expresión se indeterminaba. Usamos estrategias algebraicas (diferencia de cuadrados) y la pudimos simplificar.

Aplicamos el caso de factoreo de diferencia de cuadrados de forma "anidada", lo cual es una estrategia muy común en estos ejercicios (que son todos iguales).

Al simplificar el factor problemático $(\sqrt{x} - 1)$, "salvamos" la indeterminación y el cálculo final quedó así:

$$ \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x + 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{(1 + 1)(\sqrt{1} + 1)} = \frac{1}{(2)(2)} = \frac{1}{4} $$

Pregunta MUY común en estas situaciones de estudio

¿a qué llamamos indeterminación?

Los 7 Casos de Indeterminación (Resueltos paso a paso)

En el cálculo de límites, existen siete formas matemáticas que no nos dan un resultado concluyente de forma directa. Cuando llegamos a una de ellas, necesitamos aplicar herramientas algebraicas, límites notables o la regla de L'Hôpital para encontrar el valor real.

1. Cero sobre cero $$ \frac{0}{0} $$

Ocurre frecuentemente en cocientes de polinomios o funciones trigonométricas. Aquí aplicamos la Regla de L'Hôpital (derivando arriba y abajo).

Ejemplo resuelto: $$ \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} &\xrightarrow{\text{L'Hôpital}} \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} \\ &= \frac{\cos(0)}{1} = \frac{1}{1} = 1 \end{aligned} $$
2. Infinito sobre infinito $$ \frac{\infty}{\infty} $$

Muy común al analizar asintotas horizontales. La estrategia algebraica clásica es dividir todos los términos por la $x$ de mayor grado.

Ejemplo resuelto: $$ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2 - 1} &= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2\left(2 + \frac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2 \end{aligned} $$
3. Cero por infinito $$ 0 \cdot \infty $$

Se resuelve reescribiendo la multiplicación como una división para llevarla al caso 1 o 2, y luego aplicar L'Hôpital.

Ejemplo resuelto: $$ \begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) &= \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}} \quad \text{(queda } \frac{-\infty}{\infty} \text{)} \\ &\xrightarrow{\text{L'Hôpital}} \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} \\ &= \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0 \end{aligned} $$
4. Infinito menos infinito $$ \infty - \infty $$

Suele aparecer con diferencias de raíces. La clave geométrica es multiplicar y dividir por el conjugado.

Ejemplo resuelto: $$ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x) &= \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + x} - x)(\sqrt{x^2 + x} + x)}{\sqrt{x^2 + x} + x} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2\left(1 + \frac{1}{x}\right)} + x} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + x} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2} \end{aligned} $$
5. Uno elevado al infinito $$ 1^\infty $$

Para bajar la $x$ del exponente, igualamos el límite a una variable $y$ y aplicamos logaritmo natural a ambos lados.

Ejemplo resuelto: $$ \begin{aligned} y &= \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \\ \ln(y) &= \lim_{x \to \infty} x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} \\ &\xrightarrow{\text{L'Hôpital}} \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 1/x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = 1 \\ \ln(y) &= 1 \implies y = e^1 = e \end{aligned} $$
6. Cero elevado a la cero $$ 0^0 $$

Al igual que el caso anterior, usamos logaritmos para transformar la potencia en una multiplicación que ya sabemos resolver (Caso 3).

Ejemplo resuelto: $$ \begin{aligned} y &= \lim_{x \to 0^+} x^x \\ \ln(y) &= \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) \quad \text{(Visto en el Caso 3)} \\ \ln(y) &= 0 \implies y = e^0 = 1 \end{aligned} $$
7. Infinito elevado a la cero $$ \infty^0 $$

Nuevamente, la aplicación de logaritmos nos permite bajar el exponente y aplicar L'Hôpital de forma sencilla.

Ejemplo resuelto: $$ \begin{aligned} y &= \lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}} \\ \ln(y) &= \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \\ &\xrightarrow{\text{L'Hôpital}} \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0 \\ \ln(y) &= 0 \implies y = e^0 = 1 \end{aligned} $$

Pasando en limpio

En el cálculo de límites, si llegas a una indeterminación : no significa que la cuenta dé cero, ni tampoco significa que el límite no exista. Simplemente nos está diciendo: "El resultado está indeterminado por ahora, hay algo escondido y tenés que usar álgebra para descubrirlo".

Otra, pregunta muy habitual:

¿Qué pasa si al sustituir obtengo una constante dividido cero... si fuera:

$$ \lim_{x \to 2} \frac{4}{x - 2} $$

Pensando lo anterior:

A diferencia del $\frac{0}{0}$ (la indeterminación que motivó toda esta charla), cuando obtenemos una constante NO nula dividida por cero ($\frac{k}{0}$), estamos frente a una asíntota vertical y la función se dispara hacia el infinito.

UNA SÚPER IDEA: hay una herramienta que tenés que tener súper a mano cuando estudias estas cosas... Más importante que el aire que respiras, más importante que rajar a Milei: es GeoGebra. Probá graficar con GeoGebra: $ f(x)= \frac{4}{x - 2} $, antes de hacer ninguna cuenta.

Para saber hacia qué infinito va, analizamos los límites laterales:

Por la derecha ($x \to 2^+$): El denominador da un número positivo muy chiquito. $\frac{+}{+} = +\infty$.
$$ \lim_{x \to 2^+} \frac{4}{x - 2} = +\infty $$
Por la izquierda ($x \to 2^-$): El denominador da un número negativo muy chiquito. $\frac{+}{-} = -\infty$.
$$ \lim_{x \to 2^-} \frac{4}{x - 2} = -\infty $$

En resumen:
$\frac{0}{0} \rightarrow$ Indeterminación (se usa álgebra para salvarla).
$\frac{k}{0} \rightarrow$ Infinito (hay una asíntota vertical).

Ejemplo Práctico

Apliquemos el Teorema de Rouché-Frobenius para clasificar el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases} $$

Profesor

Para aplicar el teorema y saber cuántas soluciones tiene esto antes de intentar resolverlo, vamos a seguir estos pasos:

Paso 1: Armar las matrices

Primero, extraemos los coeficientes (los números que multiplican a las letras) para formar la matriz $A$. Luego, le agregamos la columna de los resultados para formar la matriz ampliada $A^*$. Sabemos que la cantidad de incógnitas es $n = 3$.

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & -1 & 1 & | & 3 \\ 1 & 2 & -1 & | & 2 \end{pmatrix} $$

Paso 2: Calcular el Rango de la matriz A ($rg(A)$)

La forma más rápida de saber el rango de una matriz cuadrada de 3x3 es calcular su determinante. Si el determinante es distinto de cero, significa que sus 3 filas son linealmente independientes, por lo tanto, su rango es 3.

$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(1 - 2) - 1(-2 - 1) + 1(4 - (-1)) $$
$$ |A| = 1(-1) - 1(-3) + 1(5) = -1 + 3 + 5 = 7 $$

Como $|A| = 7 \neq 0$, confirmamos que el $rg(A) = 3$.

Paso 3: Calcular el Rango de la matriz ampliada ($rg(A^*)$)

La matriz $A^*$ tiene 3 filas y 4 columnas. El rango máximo que puede tener una matriz está limitado por su dimensión más pequeña (en este caso, 3 filas). Como la matriz $A$ (que ya sabemos que tiene rango 3) está "adentro" de $A^*$, automáticamente sabemos que el $rg(A^*) = 3$. No hace falta calcular nada más.

Paso 4: Conclusión con el Teorema

Comparamos los tres datos que recolectamos:

Rango de $A$: $rg(A) = 3$
Rango de $A^*$: $rg(A^*) = 3$
Número de incógnitas: $n = 3$

Como $rg(A) = rg(A^*) = n = 3$, el Teorema de Rouché-Frobenius nos garantiza que estamos ante un Sistema Compatible Determinado (SCD).

Conclusión: El sistema tiene una única solución exacta.

[Image of three planes intersecting at a single point]

Geométricamente, esto significa que si dibujáramos cada ecuación como un plano en el espacio 3D, los tres planos se chocarían exactamente en un único punto (que en este caso es el punto $x=1, y=2, z=3$).

Consulta del Alumno

Mostrame un ejemplo de un sistema de 3 incógnitas y 2 ecuaciones analizado con este mismo teorema.

Profesor

¡Con gusto! Vamos a analizar el siguiente sistema rectangular (donde hay más letras que ecuaciones):

$$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + z = 3 \end{cases} $$

Paso 1: Armar las matrices

Extraemos los coeficientes para la matriz $A$ y agregamos los resultados para la matriz ampliada $A^*$. Tenemos $n = 3$ incógnitas ($x, y, z$).

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 2 & 1 & | & 3 \end{pmatrix} $$

Paso 2: Calcular el Rango de la matriz A ($rg(A)$)

Como la matriz no es cuadrada (es de 2x3), no podemos calcular un determinante de toda la matriz. Buscamos el determinante cuadrado más grande que podamos formar (de 2x2) que sea distinto de cero.

Si tomamos las primeras dos columnas, el determinante da cero ($1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0$), lo que indica que esas columnas son proporcionales. Pero si tomamos la primera y la tercera columna:

$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1(1) - 1(2) = 1 - 2 = -1 $$

Como encontramos un determinante de 2x2 distinto de cero, confirmamos que el $rg(A) = 2$.

Paso 3: Calcular el Rango de la matriz ampliada ($rg(A^*)$)

La matriz ampliada $A^*$ tiene solo 2 filas. El rango de una matriz nunca puede ser mayor que su número de filas. Como ya sabemos que dentro de $A^*$ hay un bloque (el de la matriz $A$) que tiene rango 2, el rango de la ampliada no puede ser otro más que 2. Por lo tanto, $rg(A^*) = 2$.

Paso 4: Conclusión con el Teorema

Comparamos nuestros datos:

Rango de $A$: $rg(A) = 2$
Rango de $A^*$: $rg(A^*) = 2$
Número de incógnitas: $n = 3$

Como $rg(A) = rg(A^*) < n$ (es decir, $2 = 2 < 3$), el Teorema de Rouché-Frobenius nos indica que estamos ante un Sistema Compatible Indeterminado (SCI).

Conclusión: El sistema tiene infinitas soluciones.

Geométricamente, cada ecuación representa un plano en el espacio. Como no son paralelos, se cortan, pero no en un solo punto, sino a lo largo de toda una línea recta. Todos los puntos que pertenezcan a esa recta son solución del sistema.

Teoría Fundamental

¿Cuál es la definición matemática de un Espacio Vectorial?

Profesor

Un espacio vectorial $V$ sobre un cuerpo de escalares $K$ (generalmente los números reales, $\mathbb{R}$) es un conjunto no vacío de elementos a los que llamamos vectores, en el cual están definidas dos operaciones fundamentales:

Suma de vectores: A cada par de vectores $\vec{u}, \vec{v} \in V$ se le asigna un único vector $\vec{u} + \vec{v} \in V$.
Producto por un escalar: A cada escalar $\alpha \in K$ y a cada vector $\vec{v} \in V$ se le asigna un único vector $\alpha \cdot \vec{v} \in V$.

Para que este conjunto reciba oficialmente el título de "Espacio Vectorial", estas dos operaciones deben cumplir estrictamente con 10 axiomas (o propiedades):

Axiomas de la Suma

Cerradura: Si sumás dos vectores del conjunto, el resultado sigue estando dentro del conjunto. $\vec{u} + \vec{v} \in V$
Conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado. $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
Asociativa: Podés agrupar las sumas como quieras. $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$
Elemento neutro: Existe un vector nulo $\vec{0} \in V$ que no altera a los demás al sumarse. $\vec{v} + \vec{0} = \vec{v}$
Elemento opuesto: Para cada vector, existe otro que lo cancela dando como resultado el vector nulo. $\vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}$

Axiomas del Producto por un Escalar

Cerradura: Si multiplicás un vector por un número, el resultado sigue estando en el conjunto. $\alpha \cdot \vec{v} \in V$
Distributiva respecto a la suma de vectores: $\alpha \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \alpha \cdot \vec{u} + \alpha \cdot \vec{v}$
Distributiva respecto a la suma de escalares: $(\alpha + \beta) \cdot \vec{v} = \alpha \cdot \vec{v} + \beta \cdot \vec{v}$
Asociativa mixta: $\alpha \cdot (\beta \cdot \vec{v}) = (\alpha \beta) \cdot \vec{v}$
Elemento neutro multiplicativo: Multiplicar por $1$ no altera el vector. $1 \cdot \vec{v} = \vec{v}$

La regla de oro: Si un conjunto falla en cumplir tan solo uno de estos 10 axiomas, todo el sistema se cae y no es un espacio vectorial.

Apuntes de Clase: Resolución de Límites y Asintotas

Los 7 Casos de Indeterminación (Resueltos paso a paso)

1. Cero sobre cero $$ \frac{0}{0} $$

2. Infinito sobre infinito $$ \frac{\infty}{\infty} $$

3. Cero por infinito $$ 0 \cdot \infty $$

4. Infinito menos infinito $$ \infty - \infty $$

5. Uno elevado al infinito $$ 1^\infty $$

6. Cero elevado a la cero $$ 0^0 $$

7. Infinito elevado a la cero $$ \infty^0 $$

Paso 1: Armar las matrices

Paso 2: Calcular el Rango de la matriz A ($rg(A)$)

Paso 3: Calcular el Rango de la matriz ampliada ($rg(A^*)$)

Paso 4: Conclusión con el Teorema

Paso 1: Armar las matrices

Paso 2: Calcular el Rango de la matriz A ($rg(A)$)

Paso 3: Calcular el Rango de la matriz ampliada ($rg(A^*)$)

Paso 4: Conclusión con el Teorema

Axiomas de la Suma

Axiomas del Producto por un Escalar