Primer Ejemplo: \(1 + 3 \cdot (m - 1) = 12\)
Cuando analizamos este ejemplo habíamos hecho lo siguiente:
| Partimos de la ecuación dada: | \( 1 + 3 \cdot (m - 1) = 12 \) |
| Aplicamos la propiedad distributiva: multiplicamos el 3 por cada término dentro del paréntesis... mucho cuidado con los signos: |
\( 1 \textcolor{red}{+ 3 \cdot (m) + 3 \cdot (-1)} = 12 \)
\( 1 + 3 \cdot m - 3 = 12 \)
|
| Operamos en los términos equivalentes (realizamos las operaciones que podemos realizar): | \( -2 + 3 \cdot m = 12 \) |
| Sumamos 2 en ambos miembros para empezar a dejar sola la incógnita \( m \): | \( -2 + 3 \cdot m \textcolor{red}{+ 2} = 12 \textcolor{red}{+ 2} \) |
| Operamos: | \( 3 \cdot m = 14 \) |
| Dividimos ambos miembros por 3: | \( \frac{3 \cdot m}{\textcolor{red}{3}} = \frac{14}{\textcolor{red}{3}} \) |
| Resultado final: | \( m = \frac{14}{3} \) |
Te voy a proponer ahora que lo pensemos de un modo diferente. Ni mejor, ni peor, simplemente diferente. Evitaremos aplicar la propiedad distributiva.
¿Querés ver más?
Sea la ecuación: \( 1 + 3 \cdot (m - 1) = 12 \); donde la incógnita es \( m \)
| Partimos de la ecuación dada: | \( 1 + 3 \cdot (m - 1) = 12 \) |
| Queremos aislar el término que contiene la incógnita. Para eso, primero restamos 1 en ambos miembros: |
\( 1 + 3 \cdot (m - 1) \textcolor{red}{-1} = 12 \textcolor{red}{-1} \) \( \cancel{1} + 3 \cdot (m - 1) \cancel{\textcolor{red}{-1}} = 12 \textcolor{red}{-1} \) |
| Operamos ambos miembros de la ecuación: | \( 3 \cdot (m - 1) = 11 \) |
| Ahora dividimos ambos miembros de la ecuación por 3 para "liberar" el paréntesis: |
\( \frac{3 \cdot (m - 1)}{\textcolor{red}{3}} = \frac{11}{\textcolor{red}{3}} \) \( \frac{\cancel{3} \cdot (m - 1)}{\cancel{\textcolor{red}{3}}} = \frac{11}{\textcolor{red}{3}} \) |
| Operamos: | \( m - 1 = \frac{11}{3} \) |
| Sumamos 1 en ambos miembros para despejar la incógnita: |
\( m - 1 \textcolor{red}{+1}= \frac{11}{3} \textcolor{red}{+1}\) \( m \cancel{- 1} \cancel{\textcolor{red}{+1}}= \frac{11}{3} \textcolor{red}{+1}\) \( m = \frac{11}{3} +1\) |
| Por si no recordas como sumar las fracciones (igual, si queres, podes usas calculadora). Una posibilidad, bastante simple, es escribir el 1 como fracción (con denominador 3) y realizamos las operaciones: | \( m = \frac{11}{3} + \frac{3}{3} = \frac{14}{3} \) |
| Resultado final: | \( m = \frac{14}{3} \) |
Segundo Ejemplo: \(3 + 5 \cdot x = 12\)
Esta ecuación ya fue resuelta (y analizada) del siguiente modo:
| Partimos de la ecuación original: | \( 3 + 5x = 12 \) |
| Restamos 3 en ambos miembros para aislar el término con x: | \( 3 + 5x \textcolor{red}{- 3} = 12 \textcolor{red}{- 3} \) |
| Realizamos las operaciones: | \( 5x = 9 \) |
| Ahora, para despejar x, dividimos ambos miembros por 5: | \( \frac{5x}{\textcolor{red}{5}} = \frac{9}{\textcolor{red}{5}} \) |
| Obtenemos el resultado final: | \( x = \frac{9}{5} \) |
| Que también puede expresarse como: | \( x = 1.8 \) |
Ahora te propongo algo diferente.
Vamos a analizar esta ecuación con un enfoque diferente, prestando especial atención a cómo tratamos el coeficiente de la incógnita.
Importante: No podemos simplemente "mover" el 5 al otro lado. ¡Las matemáticas no funcionan así! Debemos operar correctamente ambos miembros de la ecuación.
¿Querés entender por qué y cómo resolverlo adecuadamente?
Sea la ecuación: \( 3 + 5 \cdot x = 12 \); donde la incógnita es \( x \)
| Método directo (dividiendo primero): | |
| Partimos de la ecuación original: | \( 3 + 5 \cdot x = 12 \) |
| La idea más habitual (por muchas razones) es la de ir eliminando términos, cantidades que se están sumando o restándo. Bueno, en esta oportunidad te propongo pensarlo de otro modo. Vamos a eliminar inicialmente el factor que multiplica la incógnita. No podemos simplemente revolearlo "para el otro lado"; lo que haremos (por ser un factor que multiplica) es dividir todos los términos de ambos miembros por 5: | \( \frac{3 + 5 \cdot x}{\textcolor{red}{5}} = \frac{12}{\textcolor{red}{5}} \) |
| ¡Atención! La división debe aplicarse a cada término, es decir: aplicamos la propiedad distributiva |
\( \frac{3}{5} + \frac{5 \cdot x}{5} = \frac{12}{5} \) \( \frac{3}{5} + \frac{\cancel{5} \cdot x}{\cancel{5}} = \frac{12}{5} \) |
| Simplificamos (observa cómo el 5 no "desaparece", sino que se convierte en 1): | \( \frac{3}{5} + x = \frac{12}{5} \) |
| Restamos \(\frac{3}{5}\) en ambos miembros para aislar x: | \( \frac{3}{5} + x \textcolor{red}{- \frac{3}{5}} = \frac{12}{5} \textcolor{red}{- \frac{3}{5}} \) |
| Operamos: | \( x = \frac{9}{5} \) |
|
Reflexión importante: El 5 que multiplica a x no puede "pasarse dividiendo" de forma aislada. Debemos dividir todo el miembro por 5, lo que afecta a todos sus términos. Esto mantiene la igualdad en la ecuación. 🔊🔊 Al dividir \( 3 + 5x \) por 5, obtenemos \( \frac{3}{5} + x \), no \( 3 + x \) (error común cuando se intenta "mover" el 5 sin considerar su operación completa). |
|
No hay una forma más correcta que la otra; ambas lo son. En ocaciones una puede resultar más cómoda. Es decir: por ahí en un determinado caso conviene eliminar algo que suma o resta antes de embarcarte en despejar factores que multiplican... pero por ahí en otros casos conviene antes ocuparse de las multiplicaciones.
Si tenemos la ecuación \( 5 + 10 \cdot m = 5 \); por ahí sería muy simple directamente dividir por 5 ambos miembros:
Aplicamos la propiedad distributiva
\[ \frac{\cancel{5}}{\cancel{\textcolor{red}{5}}} +\frac{\cancel{10} \cdot m}{\cancel{5}}=\frac{\cancel{5}}{\cancel{\textcolor{red}{5}}} \]recordá que \(\frac{5}{5}=1 \) y que \(\frac{10}{5}=2 \)
\[ 1+2 \cdot{m}=1 \]Ahora podemos pensar en algo bastante piola: restándo 1 en cada miembro es obvio que "no quedaría ningún 1" ¿no?
\(\cancel{1}+2 \cdot{m} \cancel{\textcolor{red}{-1}}=\cancel{1} \cancel{\textcolor{red}{-1}} \rightarrow 2 \cdot m = 0\)
Por lo tanto, retomando la ecuación (aplicaremos la propiedad cancelativa):
\[ \cancel{1}+2 \cdot{m}=\cancel{1} \] \[ 2 \cdot{m}=0 \]Dividiendo ambos miembros de la ecuación por 2 tenemos:
\[ \frac{2 \cdot{m}}{2}=\frac{0}{2} \]Cómo \(\frac{2}{2}=1\), y 0 dividido cualquier cosa (que no sea 0) es 1:
\[ \frac{\cancel{2} \cdot{m}}{\cancel{2}}=0 \] \[ m=0 \]